Estimad@s,
Ante consulta de Patricia Ferrúa corresponde corregir un error en el tratamiento realizado en la clase 11 del ejemplo de los péndulos acoplados.
Copio abajo mi respuesta:
La expresión del potencial de los péndulos acoplados que
escribí a las 2 horas 25 minutos de la clase 11 del curso no está
completo (y es por lo tanto incorrecto), pero aun así todo lo que
sigue da el resultado correcto para pequeñas oscilaciones de ese
sistema.
I. La respuesta corta: lo que tu dices de tomar como estiramiento del
resorte la diferencia de los desplazamientos horizontales de las masas
está perfecto para pequeñas oscilaciones, ya que para ángulos chicos y
a primer orden tenemos que sen (theta) es aproximadamente theta, y cos
theta es aproximadamente igual a uno. En ese caso, con esa
aproximación, el estiramiento es igual a l[sen (theta_2)-sen(thet
_1)], y el potencial seria el que escribí en el pizarrón pero SIN el
término [cos (\theta _2)-cos(theta _1)]^2, que es cero en esa
aproximación porque ambos cosenos son aproximadamente iguales a uno en
ese caso.
Igual, ese término no afecta todo lo que hice después, justamente para
pequeñas oscilaciones, por lo que las frecuencias y modos normales
están bien.
Cuando ambos péndulos están verticales la energía potencial elástica
es cero, la gravitatoria da una constante irrelevante porque elegí el
nivel cero en el soporte de los péndulos.
II. La respuesta larga: el estiramiento completo del resorte, sin
aproximación de pequeñas oscilaciones, es el módulo del vector que va
de una masa a la otra menos la longitud natural del resorte. Eso se
puede escribir en forma explícita sin problema, y da algunos términos mas
que habría que agregar al potencial que escribí, pero estos términos
son irrelevantes para pequeñas oscilaciones.
Complementando lo anterior, el cos (theta) es aproximadamente 1-theta
^2/2 (Taylor), por lo que los términos en los que los cosenos NO están
al cuadrado en el potencial gravitacional si dan contribuciones
relevantes, cuadráticas en los theta, al potencial completo. Esto es diferente al término [cos (\theta _2)-cos(theta _1)]^2 que es de cuarto orden en los thetas.
Recapitulando, lo mas simple y conveniente es quedarse con el
potencial mencionado arriba en la versión corta, que es el que escribí
en la clase pero SIN el término [cos (\theta _2)-cos(theta _1)]^2, que
vale para ángulos chicos y permite seguir el análisis mucho mas
simplemente.
Cualquier cosa lo podemos ver el martes en la consulta.
Saludos cordiales
Pablo