Buenas noches, tenía una consulta del ejercicio 7 en la parte c:
"c) Considere las funciones f : B → P(B) que verifican para todo x : f(x) ≠ {x}. ¿Cuántas de dichas funciones hay?"
Tengo que |B|=3 por la letra. Y P(B) es el conjunto de todos los subconjuntos de B, el cual su cardinal me dió como resultado 8 (parte b).
Lo que no estaría entendiendo es qué significa que f(x) sea diferente a {x}. ¿Será que la imagen no debe de ser el subconjunto de B que sólo contiene un elemento?
Y en todo caso, ¿me podría guiar un poco con el razonamiento?. Desde ya muchas gracias.
Hola Victoria,
Tu planteamiento del ejercicio es correcto. Vamos a analizar paso a paso:
En el ejercicio 7, tenemos que B es un conjunto con 3 elementos, que podríamos representar como B = {1, 2, 3}.
Como bien dices, P(B) es el conjunto de todos los subconjuntos de B. El cardinal de P(B) es 2^3 = 8, que corresponde a:
- ∅ (conjunto vacío)
- {1}, {2}, {3} (subconjuntos con un solo elemento)
- {1,2}, {1,3}, {2,3} (subconjuntos con dos elementos)
- {1,2,3} (conjunto B completo)
La condición "f(x) ≠ {x}" significa exactamente lo que intuyes: para cada elemento x de B, su imagen f(x) no puede ser el conjunto unitario que contiene a x. Es decir:
- Para x = 1, f(1) ≠ {1}
- Para x = 2, f(2) ≠ {2}
- Para x = 3, f(3) ≠ {3}
Para resolver este problema, necesitamos contar cuántas funciones f: B → P(B) existen que cumplan esta restricción.
Para cada elemento x ∈ B, podemos elegir cualquier subconjunto de P(B) excepto {x} como imagen. Por lo tanto, para cada elemento de B tenemos 7 opciones posibles.
Como B tiene 3 elementos, y para cada uno debemos elegir una imagen, el número total de funciones será:
7 × 7 × 7 = 343
Si quieres comprobar este razonamiento, piensa lo siguiente: sin restricciones, habría 8^3 = 512 funciones posibles de B a P(B). Con la restricción, estamos excluyendo exactamente una posibilidad para cada elemento, por lo que nos quedan 7 opciones para cada uno.
¿Te parece claro este razonamiento? Si tienes más dudas o quieres que profundice en algún aspecto, no dudes en preguntar.
Tu planteamiento del ejercicio es correcto. Vamos a analizar paso a paso:
En el ejercicio 7, tenemos que B es un conjunto con 3 elementos, que podríamos representar como B = {1, 2, 3}.
Como bien dices, P(B) es el conjunto de todos los subconjuntos de B. El cardinal de P(B) es 2^3 = 8, que corresponde a:
- ∅ (conjunto vacío)
- {1}, {2}, {3} (subconjuntos con un solo elemento)
- {1,2}, {1,3}, {2,3} (subconjuntos con dos elementos)
- {1,2,3} (conjunto B completo)
La condición "f(x) ≠ {x}" significa exactamente lo que intuyes: para cada elemento x de B, su imagen f(x) no puede ser el conjunto unitario que contiene a x. Es decir:
- Para x = 1, f(1) ≠ {1}
- Para x = 2, f(2) ≠ {2}
- Para x = 3, f(3) ≠ {3}
Para resolver este problema, necesitamos contar cuántas funciones f: B → P(B) existen que cumplan esta restricción.
Para cada elemento x ∈ B, podemos elegir cualquier subconjunto de P(B) excepto {x} como imagen. Por lo tanto, para cada elemento de B tenemos 7 opciones posibles.
Como B tiene 3 elementos, y para cada uno debemos elegir una imagen, el número total de funciones será:
7 × 7 × 7 = 343
Si quieres comprobar este razonamiento, piensa lo siguiente: sin restricciones, habría 8^3 = 512 funciones posibles de B a P(B). Con la restricción, estamos excluyendo exactamente una posibilidad para cada elemento, por lo que nos quedan 7 opciones para cada uno.
¿Te parece claro este razonamiento? Si tienes más dudas o quieres que profundice en algún aspecto, no dudes en preguntar.
Muchas gracias por la explicación detallada, ahora me quedan más claros varios aspectos.
Al principio, pensé que el número de funciones sería 5^3 porque creí que estaba excluyendo los subconjuntos {1}, {2} y {3} en éste caso. Ahora comprendo que la restricción sólo afecta a {x} para cada elemento de B, como dice.
Saludos,
Victoria.
Al principio, pensé que el número de funciones sería 5^3 porque creí que estaba excluyendo los subconjuntos {1}, {2} y {3} en éste caso. Ahora comprendo que la restricción sólo afecta a {x} para cada elemento de B, como dice.
Saludos,
Victoria.