Para escribir símbolos tenés que ponerlos entre paréntesis, agregando una contrabarra antes de abrir el paréntesis y otra antes de cerrarlo (sin espacio entre la contrabarra y cada paréntesis). Sino probá hacerlo de forma gráfica en el editor de ecuaciones del editor avanzado.

Te respondo con un ejemplo para evitar confusiones. Siempre es mejor si podés consultar con un ejemplo especifico. No siempre voy a responder algo tan largo, pero vale la pena en este caso así queda como ejemplo resuelto. Si esto no responde a tus preguntas, preguntá de nuevo en base a este ejemplo.

Supongamos que tenés que resolver la recurrencia no homogénea: $2a_n + 3a_{n-1} = 3n+1$, para todo $n \geq 0$; con valor inicial $a_3 = 1$.

Homogénea:

La recurrencia homogénea asociada es: $2a_n + 3a_{n-1} = 0$, para todo $n \geq 0$. El polinomio característico y su raíz son: $p(x)=2x+3 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{3}{2}$. Por lo tanto, la solución general de la recurrencia homogénea es: $a_n^H = \alpha (-\frac{3}{2})^n$, con $\alpha$ a determinar al final.

Notar que $a_n^H$ no cumple con la recurrencia no homogénea (para ningún valor de $\alpha$), por lo que no es solución de nuestro problema.

Particular:

El término independiente de la recurrencia no homogénea es de la forma $1^n (3n+1)$. Como 1 no es raíz del polinomio característico de la homogénea, buscamos una solución particular de la forma: $a_n^P = \gamma_1 n + \gamma_2$

Para esto, necesitamos elegir $\gamma_1$ y $\gamma_2$ tales que $a_n^P$ verifique la recurrencia no homogénea. Es decir, queremos que se cumpla: $2a_n^P + 3a_{n-1}^P = 3n+1, \ \forall \ n \geq 0$.

Esto equivale a: $2 (\gamma_1 n + \gamma_2) + 3 (\gamma_1 (n-1) + \gamma_2) = 3n+1, \ \forall \ n \geq 0$.

Si queremos que la igualdad anterior se cumpla para todo $n \geq 0$, en particular se debe cumplir para $n=0$ y $n=1$. Para esos valores de $n$ obtenemos:
$5 \gamma_2 - 3 \gamma_1 = 1,  \quad 5 \gamma_2 + 2 \gamma_1 = 4$.

Resolviendo estas ecuaciones se obtiene: $\gamma_1 = \frac{3}{5}, \ \gamma_2 = \frac{14}{25}$

Por lo tanto, una solución particular de la recurrencia no homogénea, es: $a_n^P = \frac{3}{5} n + \frac{14}{25}$.

Notar que esta sucesión no cumple con el valor inicial requerido por la letra, pues: $a_3^P = \frac{9}{5} + \frac{14}{25} = \frac{59}{25} \neq 1$.

Valor inicial:

Ahora vamos a combinar la solución particular $a_n^P$ con la solución general de la homogénea $a_n^H$, para obtener una solución del problema original (que cumpla la recurrencia no homogénea y el valor inicial).

Para esto consideremos la sucesión $a_n = a_n^P + a_n^H = \frac{3}{5} n + \frac{14}{25} + \alpha (-\frac{3}{2})^n$.

Por linealidad, sabemos que $a_n$ cumple la recurrencia no homogénea, para todo valor de $\alpha$ real.

Buscamos un valor de $\alpha$ que haga que $a_n$ cumpla el valor inicial dado por la letra: $a_3=1$. Tomando $n=3$, esto equivale a pedir que se cumpla: $1 = a_3 = \frac{59}{25} + \alpha (-\frac{3}{2})^3$. Despejando: $\alpha = -( 1 - \frac{59}{25} ) (\frac{2}{3})^3 = \frac{272}{675}$.

Por lo tanto, la sucesión solución del problema original es: $a_n = \frac{3}{5} n + \frac{14}{25} + \frac{272}{675} (-\frac{3}{2})^n, \ n \geq 0$.

Observaciones finales:

• El cálculo de la solución particular no utiliza en ningún momento el valor inicial dado por la letra.
• El valor inicial se impone al final, a la suma de la particular y la homogénea.