Ejercicio 15b

Consigna: ¿Cuántas soluciones hay si se reemplaza el = por < ? Es decir, hallar la cantidad de soluciones distintas (enteros no negativos) de la ecuación: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 < 4$

Solución

Para resolver este problema, debemos contar cuántas soluciones tiene la desigualdad: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 < 4$ donde $x_i \geq 0$ y $x_i \in \mathbb{Z}$ para todo $i \in {1,2,3,4,5,6,7}$.

Dado que $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 < 4$, esto significa que la suma puede ser 0, 1, 2 o 3.

Podemos desglosar el problema contando las soluciones para cada posible suma:

1. Número de soluciones donde $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 0$
2. Número de soluciones donde $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 1$
3. Número de soluciones donde $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 2$
4. Número de soluciones donde $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 3$

Para cada una de estas ecuaciones, podemos usar la fórmula de combinación con repetición. La cantidad de formas de distribuir r objetos idénticos en n casillas distintas es: $\binom{n+r-1}{r} = \binom{n+r-1}{n-1}$

Para el caso 1 ($x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 0$): Solo hay una solución: todos los $x_i = 0$.

Para el caso 2 ($x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 1$): Estamos distribuyendo 1 objeto en 7 casillas, por lo que hay $\binom{7+1-1}{1} = \binom{7}{1} = 7$ soluciones.

Para el caso 3 ($x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 2$): Estamos distribuyendo 2 objetos en 7 casillas, por lo que hay $\binom{7+2-1}{2} = \binom{8}{2} = 28$ soluciones.

Para el caso 4 ($x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 3$): Estamos distribuyendo 3 objetos en 7 casillas, por lo que hay $\binom{7+3-1}{3} = \binom{9}{3} = 84$ soluciones.

Ahora, sumamos todas las soluciones: $1 + 7 + 28 + 84 = 120$

Por lo tanto, hay 120 soluciones distintas para la desigualdad $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 < 4$.