En el ejercicio 4 no estaría comprendiendo lo que se pregunta en la parte (c) Demostrar que para toda equivalencia S existe una función f tal que Rf = S.
Porque por la definición Rf es una relación de equivalencia.
En la primera parte se muestra que, para cada función "f : A -> B" se puede construir una relación de equivalencia R_f en A.
La pregunta (c) refiere a demostrar que cualquier relación de equivalencia en A se puede obtener de esta manera.
Es decir: para cada relación S en A, es posible construir alguna función f : A -> X de manera que S es R_f. Aquí X no tiene por qué ser siempre el mismo conjunto.
"f".
Lo que hay que hacer, entonces, es, suponiendo que solo tienes dada una relación S (no tienes a priori ninguna función), mostrar cómo construir una tal función "f".
Una idea: como conversamos en clase, la función "f" juega el papel de un "atributo" para los elementos del conjunto A, y la equivalencia R_f es la que corresponde a "dos elementos son equivalentes si tienen el mismo atributo". Si solamente conocemos la relación S, ¿qué podríamos usar como atributo, de manera que dos elementos equivalentes tengan el mismo atributo?
Sugerencia: en clase probamos un teorema que dice que si dos elementos son equivalentes, entonces sus clases de equivalencia son iguales. ¿Qué te parece asignarle a cada elemento su clase de equivalencia?
En concreto, dada una relación de equivalencia S en el conjunto A:
1. consideramos B el conjunto de clases de equivalencia para la relación S (en clase lo denotamos B = A/S y lo llamamos "conjunto cociente").
2. consideramos la función f : A -> B que manda cada elemento "x" en su clase de equivalencia "[x]".
De este modo construimos para cada S una función f. Para concluir el ejercicio hay que probar que la relación S es igual a la relación R_f, lo dejo para que lo piensen y escriban.
La pregunta (c) refiere a demostrar que cualquier relación de equivalencia en A se puede obtener de esta manera.
Es decir: para cada relación S en A, es posible construir alguna función f : A -> X de manera que S es R_f. Aquí X no tiene por qué ser siempre el mismo conjunto.
"f".
Lo que hay que hacer, entonces, es, suponiendo que solo tienes dada una relación S (no tienes a priori ninguna función), mostrar cómo construir una tal función "f".
Una idea: como conversamos en clase, la función "f" juega el papel de un "atributo" para los elementos del conjunto A, y la equivalencia R_f es la que corresponde a "dos elementos son equivalentes si tienen el mismo atributo". Si solamente conocemos la relación S, ¿qué podríamos usar como atributo, de manera que dos elementos equivalentes tengan el mismo atributo?
Sugerencia: en clase probamos un teorema que dice que si dos elementos son equivalentes, entonces sus clases de equivalencia son iguales. ¿Qué te parece asignarle a cada elemento su clase de equivalencia?
En concreto, dada una relación de equivalencia S en el conjunto A:
1. consideramos B el conjunto de clases de equivalencia para la relación S (en clase lo denotamos B = A/S y lo llamamos "conjunto cociente").
2. consideramos la función f : A -> B que manda cada elemento "x" en su clase de equivalencia "[x]".
De este modo construimos para cada S una función f. Para concluir el ejercicio hay que probar que la relación S es igual a la relación R_f, lo dejo para que lo piensen y escriban.
Muchas gracias Gonzalo