Buenas,

$lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{1-2cos(x)}{sen(x -\frac{\pi}{3})} =$ indeterminación $\frac{0}{0}$.

Para usar infinitesimos equivalentes en este problema, hay que ver que $lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} sen(x-\frac{\pi}{3} =0$ por lo tanto usando que si $f(x)=sen(x)$ se dice infinitesimo para $x \rightarrow{0}$ si, $lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ = 0, usando esto mismo para nuestro caso, $sen(x -\frac{\pi}{3}) \approx x -\frac{\pi}{3}$.

Para hallar el equivalente del numerador $1 - 2cos(x)$ lo que hay que hacer es, tomarse $f(x) = 1 - 2cos(x)$ y hacer un desarrollo de Taylor de primer orden, donde $f(x) \approx  f(a) + f^{'}(a)(x-a)$. Haciendo las cuentas se llega a que $f(x) = 1 - 2cos(x) \approx \sqrt(3) (x - \frac{\pi}{3})$.

Por lo tanto el limite:

$lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{1-2cos(x)}{sen(x -\pi)} \approx  lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt(3) (x - \frac{\pi}{3})}{(x - \frac{\pi}{3})} = \sqrt(3)$

Espero ser de ayuda a quien me pregunto este ejercicio hoy.

Atte. Ignacio