Practico 1. ej 11b y c

Practico 1. ej 11b y c

de GIMENEZ LUCIA -
Número de respuestas: 2

Hola, tengo una duda sobre como resolver los límites. 

En el 11b) se puede aplicar infinitesimos equivalente en el numerador? ( Cómo se muestra en la imagen adjuntada ). 

De ser así ,   se pueden aplicar siempre que tienda a cero ? Y sin importar si es una indeterminación? O cómo es ? 


En el 11c) yo utilice órdenes fundamentales de infinitos para x tendiendo a infinito. Siguiendo con lo que aparece en la tabla de límites, como el de abajo tiene mayor orden que el de arriba tendería a infinito. Tengo la misma duda que en el de arriba, no sé si la aplicación es correcta y cuáles son los casos en los que se puede aplicar. 






En respuesta a GIMENEZ LUCIA

Re: Practico 1. ej 11b y c

de Faget Ignacio -
Buenas,

respondo la 11b)

Lo primero que hay que ver es cual es la definición de un infinitésimo.
Infinitesimo: Dada un función f(x) es un infinitésimo para x→a donde a puede ser finito o infinito, si limx→af(x)=0.

Ejemplo:
Sea f(x)=ex, es un infinitésimo para x→−∞ ya que limx→−∞ex=0.

Luego hay que ver cual es la definición de infinitésimos equivalentes.
Infinitésimos equivalente: Dada 2  infinitesimos f y g (f y g estan bajo la condición de la definición anterior) se dicen equivalentes para x→a, si
limx→af(x)g(x)=1 ,por lo tanto se dice que f∼g para x→a

Observación: A partir de la definición anterior sale la proposición de que limx→0ex−1x entonces ex−1∼x

No necesariamente puedes usar infinitésimos equivalentes cuando la indeterminación es 0/0, va un ejemplo que ilustra esto. \\

Ejemplo:
limx→+∞(4x2−1)(L(x+2x)) = ∞.0 (indet)

Podemos decir que L(x+2x) es un infinitésimo para x→+∞, ya que el límite da 0, y además L(x+2x)∼x+2x−1 son infinitésimos equivalentes para  x→+∞ ya que el límite del cociente entre ellos da 1 con x→+∞.

Entonces, limx→+∞(4x2−1)(L(x+2x))=limx→+∞(4x2−1)(2x)=+∞

Con respecto a lo que hiciste en el ejercicio, el resultado es correcto. En la primer parte te das cuenta que el numerador es un infinitésimo para x→2, la idea ahí es sacar factor común e, para que te quede una expresión que también es un infinitésimo y al que es conocido el infinitesmo equivalente. Luego todo el procedimiento esta bien.

En otro mensaje abajo respondo el 11c)

Atte. Ignacio
En respuesta a Faget Ignacio

Re: Practico 1. ej 11b y c

de Faget Ignacio -
Sigo con el 11c)

lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{ e^{\frac{2x}{x-1}} -e^2    }{ L(\frac{x+1}{x}) } es un indet 0/0 .

Como es una indeterminación 0/0 deducimos que tanto el numerador como el denominador es un infinitésimo  para {x \rightarrow +\infty}, ya que sus líimites dan 0.

Primero con el numerador, la idea es buscar un infinitésimo equivalente para esta expresión
e^{\frac{2x}{x-1}} -e^2 = e^{2}( e^{\frac{2x}{x-1} -2}  - 1)  = e^{2}( e^{\frac{2}{x-1}}  - 1) , por
lo tanto el infinitésimo equivalente de e^{\frac{2}{x-1}}  - 1 \sim \frac{2}{x-1}, entonces del numerador se obtiene la expresión e^{2}(\frac{2}{x-1}) .

Luego trabajamos con el denominador, de igual manera que lo hacemos con el numerador, como la indeterminación es 0/0, L(\frac{x+1}{x}) es un infinitésimo para {x \rightarrow +\infty}, ya que su límite da 0.
Usando L(\frac{x+1}{x}) \sim \frac{x+1}{x} -1 = \frac{1}{x}.

En conclusión el límite a calcular ahora es: lim_{x \rightarrow +\infty}  \frac{e^{2}(\frac{2}{x-1})}{\frac{1}{x}} = 2e^{2} 

Con respecto a lo de los ordenes de infinito, eso se usa cuando el límite de las funciones tendiendo a infinito da infinito, y lo que se hace es compara los ordenes a los efectos de ver cual predomina. En este caso las funciones se van a 0 cuando x \rightarrow +\infty por lo que nos esta diciendo que ambas funciones son infinitésimos para x \rightarrow +\infty.


Atte. Ignacio