Sigo con el 11c)

$lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{ e^{\frac{2x}{x-1}} -e^2    }{ L(\frac{x+1}{x}) }$ es un indet 0/0 .

Como es una indeterminación 0/0 deducimos que tanto el numerador como el denominador es un infinitésimo  para ${x \rightarrow +\infty}$, ya que sus líimites dan 0.

Primero con el numerador, la idea es buscar un infinitésimo equivalente para esta expresión

$e^{\frac{2x}{x-1}} -e^2 = e^{2}( e^{\frac{2x}{x-1} -2}  - 1)  = e^{2}( e^{\frac{2}{x-1}}  - 1)$, por

lo tanto el infinitésimo equivalente de $e^{\frac{2}{x-1}}  - 1 \sim \frac{2}{x-1}$, entonces del numerador se obtiene la expresión $e^{2}(\frac{2}{x-1})$.

Luego trabajamos con el denominador, de igual manera que lo hacemos con el numerador, como la indeterminación es 0/0, $L(\frac{x+1}{x})$ es un infinitésimo para {x \rightarrow +\infty}, ya que su límite da 0.

Usando $L(\frac{x+1}{x}) \sim \frac{x+1}{x} -1 = \frac{1}{x}$.

En conclusión el límite a calcular ahora es: $lim_{x \rightarrow +\infty}  \frac{e^{2}(\frac{2}{x-1})}{\frac{1}{x}} = 2e^{2}$

Con respecto a lo de los ordenes de infinito, eso se usa cuando el límite de las funciones tendiendo a infinito da infinito, y lo que se hace es compara los ordenes a los efectos de ver cual predomina. En este caso las funciones se van a 0 cuando $x \rightarrow +\infty$ por lo que nos esta diciendo que ambas funciones son infinitésimos para $x \rightarrow +\infty$.

Atte. Ignacio