Practico 1. ej 11b y c

Practico 1. ej 11b y c

by GIMENEZ LUCIA -
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Hola, tengo una duda sobre como resolver los límites. 

En el 11b) se puede aplicar infinitesimos equivalente en el numerador? ( Cómo se muestra en la imagen adjuntada ). 

De ser así ,   se pueden aplicar siempre que tienda a cero ? Y sin importar si es una indeterminación? O cómo es ? 


En el 11c) yo utilice órdenes fundamentales de infinitos para x tendiendo a infinito. Siguiendo con lo que aparece en la tabla de límites, como el de abajo tiene mayor orden que el de arriba tendería a infinito. Tengo la misma duda que en el de arriba, no sé si la aplicación es correcta y cuáles son los casos en los que se puede aplicar. 






In reply to GIMENEZ LUCIA

Re: Practico 1. ej 11b y c

by Faget Ignacio -
Buenas,

respondo la 11b)

Lo primero que hay que ver es cual es la definición de un infinitésimo.
Infinitesimo: Dada un función f(x) es un infinitésimo para x \rightarrow a donde a puede ser finito o infinito, si lim_{x\rightarrow a } f(x)  = 0.

Ejemplo:
Sea f(x) = e^{x}, es un infinitésimo para x \rightarrow -\infty ya que lim_{x\rightarrow -\infty } e^{x}  = 0.

Luego hay que ver cual es la definición de infinitésimos equivalentes.
Infinitésimos equivalente: Dada 2  infinitesimos f y g (f y g estan bajo la condición de la definición anterior) se dicen equivalentes para x \rightarrow a, si
lim_{x\rightarrow a } \frac{f(x)}{g(x)}  = 1 ,por lo tanto se dice que f \sim g para x \rightarrow a

Observación: A partir de la definición anterior sale la proposición de que lim_{x \rightarrow 0 } \frac{e^x -1}{x} entonces e^{x-1} \sim x

No necesariamente puedes usar infinitésimos equivalentes cuando la indeterminación es 0/0, va un ejemplo que ilustra esto. \\

Ejemplo:
lim_{x \rightarrow +\infty } { (4x^{2} -1) ( L(\frac{x+2}{x}) ) } = \infty .0 (indet)

Podemos decir que  L(\frac{x+2}{x}) es un infinitésimo para x \rightarrow +\infty, ya que el límite da 0, y además  L(\frac{x+2}{x}) \sim \frac{x+2}{x} -1 son infinitésimos equivalentes para  x \rightarrow +\infty ya que el límite del cociente entre ellos da 1 con x \rightarrow +\infty.

Entonces, lim_{x \rightarrow +\infty } {(4x^{2} -1)( L(\frac{x+2}{x}) )} =  lim_{x \rightarrow +\infty } {(4x^{2} -1)(\frac{2}{x}) } = +\infty

Con respecto a lo que hiciste en el ejercicio, el resultado es correcto. En la primer parte te das cuenta que el numerador es un infinitésimo para x\rightarrow 2, la idea ahí es sacar factor común e, para que te quede una expresión que también es un infinitésimo y al que es conocido el infinitesmo equivalente. Luego todo el procedimiento esta bien.

En otro mensaje abajo respondo el 11c)

Atte. Ignacio
In reply to Faget Ignacio

Re: Practico 1. ej 11b y c

by Faget Ignacio -
Sigo con el 11c)

lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{ e^{\frac{2x}{x-1}} -e^2    }{ L(\frac{x+1}{x}) } es un indet 0/0 .

Como es una indeterminación 0/0 deducimos que tanto el numerador como el denominador es un infinitésimo  para {x \rightarrow +\infty}, ya que sus líimites dan 0.

Primero con el numerador, la idea es buscar un infinitésimo equivalente para esta expresión
e^{\frac{2x}{x-1}} -e^2 = e^{2}( e^{\frac{2x}{x-1} -2}  - 1)  = e^{2}( e^{\frac{2}{x-1}}  - 1) , por
lo tanto el infinitésimo equivalente de e^{\frac{2}{x-1}}  - 1 \sim \frac{2}{x-1}, entonces del numerador se obtiene la expresión e^{2}(\frac{2}{x-1}) .

Luego trabajamos con el denominador, de igual manera que lo hacemos con el numerador, como la indeterminación es 0/0, L(\frac{x+1}{x}) es un infinitésimo para {x \rightarrow +\infty}, ya que su límite da 0.
Usando L(\frac{x+1}{x}) \sim \frac{x+1}{x} -1 = \frac{1}{x}.

En conclusión el límite a calcular ahora es: lim_{x \rightarrow +\infty}  \frac{e^{2}(\frac{2}{x-1})}{\frac{1}{x}} = 2e^{2} 

Con respecto a lo de los ordenes de infinito, eso se usa cuando el límite de las funciones tendiendo a infinito da infinito, y lo que se hace es compara los ordenes a los efectos de ver cual predomina. En este caso las funciones se van a 0 cuando x \rightarrow +\infty por lo que nos esta diciendo que ambas funciones son infinitésimos para x \rightarrow +\infty.


Atte. Ignacio