Buenas!

Escribo la letra por si alguien mas tiene la misma duda,
Lo que pide es:

Dado una particion $P=${$0=x_0, ... , x_n=1$} del intervalo $[0,1]$ probar que $S_{inf}(f,P)$<$\frac{1}{2}$< $S^{sup}(f,P)$ donde f es $f:[0,1] \rightarrow R$ dada por $f(x) = x$.

Respuesta: La idea es la misma que en la parte a, la diferencia es que ahora tienes mas particiones y que no se sabes que valor tienen. Sabes como hacer el calculo de la suma inferior al igual que la superior. $S_{inf}(f,P) = \sum_{i=0}^{n-1}$${(x_{i+1} - x_{i})m_i}$ donde $m_i$ es el minimo f en $[x_i, x_{i+1}]$, para el caso de $S^{sup}(f,P)$ es analogo usando el maximo f en $[x_i, x_{i+1}]$.
Si haces la representacion grafica de lo anterior, puedes ver que la suma inferior de areas de particiones del intervalo resulta ser una aprox. del area encerrada por la funcion $f(x) =x$ con la restriccion en abscisa $[0,1]$que es el dominio de f. Esta suma inferior resulta ser una cota inferior de esa area, y analogamente la suma superior es una cota superior. Aca habria que preguntarse, Por que pasa esto?
Como la funcion es definida positiva en ese dominio, el integral tiene el mismo signo que el area bajo la funcion, y eso da $\frac{1}{2}$.
Por lo tanto la conclusion final es que el integral queda acotada tanto superior e inferiormente por las sumas de particiones.
Algunas preguntas a hacerse, Por que lo acota estrictamente y no vale el $=$ y que deberia pasar para que esto fuera asi ?, otra pregunta seria, si lo que me sobra en la suma superior es lo mismo de lo que me falta en la suma inferior, esto pasa en este caso? pasa siempre?.

Atte. Ignacio