En este ejercicio vemos una ilustración de la correspondencia entre tests de hipótesis y estimación por intervalos.
Se da una muestra \(X_1, \ldots, X_n\) iid normal de media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), y consideramos el test \(H_0 : \mu = \mu_0\) vs. \(H_1 : \mu \neq \mu_0\).
Considere el test de tamaño \(\alpha\) con región de rechazo (\(\star\)) \[ R = \{ x : \vert \bar{x} - \mu_0 \vert > z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}\}. \]
(\(\star\)) Recordar que para \(0 \leq \alpha \leq 1\), un test con función de potencia \(\beta(\theta) = P_\theta(X \in R)\) se dice de nivel \(\alpha\) si \(\sup_{\theta \in \Theta_0} \beta(\theta) \leq \alpha\). Dicho test se dice de tamaño \(\alpha\) si \(\sup_{\theta \in \Theta_0} \beta(\theta) = \alpha\).
En este problema, acepto \(H_0\) para los datos muestrales tales que \(\vert \bar{x} - \mu_0\vert \leq z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}\), o de manera equivalente
\[ \bar{x} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu_0 \leq \bar{x} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}. \] Como el test tiene tamaño \(\alpha\), la probabilidad de rechazar \(H_0\) dado que \(\mu = \mu_0\) (error tipo I) es igual a \(\alpha\), es decir:
\[ P(\textrm{acepto } H_0 | \mu = \mu_0) = 1-\alpha. \]
Utilizando las dos caracterizaciones,
\[ P(\bar{X} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu_0 \leq \bar{X} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \vert \mu = \mu_0) = 1 - \alpha. \]
Nótese que la probabilidad calculada en la parte anterior es válida para cualquier \(\mu_0\). Podemos escribir, por lo tanto,
\[ P_\mu(\bar{X} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) = 1 - \alpha. \] Por lo tanto, el intervalo \[ [L(\bar{x}), U(\bar{x})] = \left[ \bar{x} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] \] determina un intervalo de confianza de tamaño \(1-\alpha\).
Hemos obtenido el intervalo de confianza \([L(\bar{x}), U(\bar{x})]\) invirtiendo la región de aceptación de un test de nivel \(\alpha\). De hecho cada test de hipótesis corresponde a un intervalo de confianza y viceversa.
La región de aceptación del test de hipótesis (el conjunto en espacio muestral para el cual \(H_0 : \mu = \mu_0\) es aceptado) es \[ A(\mu_0) = \left\{ (x_1, \ldots, x_n) : \mu_0 - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \bar{x} \leq \mu_0 + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right\} \] y el intervalo de confianza (conjunto en el espacio de parámetros con valores plausibles de \(\mu\)) es: \[ C(x_1, \ldots, x_n) = \left\{ \mu : \bar{x} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right\} \] La conexión entre estos conjuntos es: \[ (x_1, \ldots, x_n) \in A(\mu_0) \iff \mu_0 \in C(x_1, \ldots, x_n). \]
(Ver gráfico con ejes \(\mu\) y \(\bar{x}\)).
En resumen: