Repaso Práctico 4

Anteriormente se trabajó con estimadores puntuales de un parámetro desconocido \(\theta\). La probabilidad de acierto en el caso de un estimador puntual es cero.

El propósito de utilizar un estimador por intervalo es tener cierta garantía que el parámetro pertenece al intervalo; al ser los intervalos menos "precisos" que los estimadores puntuales, tenemos a cambio una probabilidad de acierto de que el parámetro pertenece al intervalo que es distinta de cero, y en algunos ésta se puede calcular analíticamente.

Definiciones. Para un estimador \(C(X) = [L(X), U(X)]\) de un parámetro \(\theta\), la probabilidad de cobertura de \(C(X)\) es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro \(\theta \in C(X)\). Se nota

\[ P_\theta(\theta \in [L(x), U(x)]) = P(\theta \in [L(x), U(x)] \vert \theta). \]

Nótese que, en general, la probabilidad de cobertura va a depender del valor de \(\theta\). En otros casos, la probabilidad será constante en \(\theta\). Para formalizar la noción de confianza del intervalo, se define el coeficiente de confianza como

\[ \textrm{coef. conf.} [L(x), U(x)] := \inf_\theta P_\theta(\theta \in [L(x), U(x)]). \]

Teorema de correspondencia entre region de aceptacion e intervalos de confianza

(Ver por ejemplo el Ejercicio 2 de este práctico)

• En un test de hipótesis se fija el parámetro y se pregunta cuáles son los valores muestrales (región de aceptación) que conforman con ese valor fijo.
• En un intervalo de confianza se fija el valor muestral y se pregunta cuáles son los valores del parámetro (el intervalo de confianza) que hacen al valor muestral lo más plausible.

A continuación formalizamos estas observaciones en el siguiente Teorem de correspondencia entre region de aceptacion e intervalos de confianza. Ver Casella Theorem 9.2.2. pág. 421 para la prueba.

Teorema. Para cada \(\theta_0 \in \Theta\), sea \(A(\theta_0)\) la región de aceptación de un test de nivel \(\alpha\) de \(H_0 : \theta = \theta_0\). Para cada \(x \in \mathcal{X}\), sea \(C(x)\) el conjunto en el espacio de parámetros definido como \[ C(x) = \{ \theta_0 : x \in A(\theta_0)\}. \] Entonces, el conjunto aleatorio \(C(X)\) es un conjunto de confianza (confidence set) de nivel \(1-\alpha\).

Recíprocamente, sea \(C(X)\) un conjunto de confianza de nivel \(1-\alpha\). Para cualquier \(\theta_0 \in \Theta\), sea \[ A(\theta_0) = \{ x : \theta_0 \in C(x)\}. \] Entonces, \(A(\theta_0)\) es la región de aceptación de un test de nivel \(\alpha\) de \(H_0 : \theta = \theta_0\).