Tiago me consultó por email sobre el ejercicio 11 del práctico 5.

El ejercicio dice "Hallar un producto interno en V para el cual la base B resulta ser ortonormal" y da algunas bases.

La clave está en saber que en R^2 todos los productos internos se caracterizan por ser de la forma <x, y> = x^T * M * y, donde M es una matriz 2x2 que satisface las siguientes dos condiciones: es simetrica es decir M = M^T y tiene todos sus valores propios > 0.

Luego tu pones una matriz generica con esas caracteristicas (coeficientes a y c en la diagonal principal y b en la anti-diagonal), y colocas las condiciones para que sea una b.o.n, es decir tanto (1, 1) como (2, -1) son de norma 1 (dos condiciones) y ademas son ortogonales entre si (una condicion). Resultan asi tres ecuaciones lineales con tres incognitas. Despejando, resulta: <x, y> = (1/9)*(2 * x1 * y1 + x1 * y2 + x2 * y1 + 5 * x2 * y2).