• Punteo de lo visto en clase (y un cronograma tentativo)

    • Semana 9 - Primer Parcial

      Primer parcial de MD2: martes 5 de mayo a las 18 horas (mismo día y hora que en Facultad de Ingeniería).

    • Semana 8 - Consulta Primer Parcial

      Periodo de parciales de Ingeniería: 25/4 al 6/5.

    • Semana 7

      Lunes 20/4:

      • Función \varphi de Euler.
      • \varphi (p^k) = p^k - p^{k-1} , para todo p primo.
      • mcd(m,n)=1 implica \varphi(m n) = \varphi(m) \varphi(n)
      • Función de Euler conociendo la factorización en primos.

      Miércoles 22/4:

      • Teorema de Euler de exponenciación módulo n.
      • Teorema de Fermat como corolario.
      • Aplicación del Teorema de Euler para calcular el resto de una potencia módulo n.

      Jueves 23/4:

      • No hubo clase.

    • Semana 6

      Lunes 13/4

      • No hubo clase.

      Miércoles 15/4

      • Práctico 5 sobre Congruencias.
      • Inversa modular.

      Jueves 16/4

      • Teorema Chino del Resto (TCR).
      • Ejemplos.
      • Uso del TCR en un sistema con módulos no coprimos.

    • Semana 5

      Lunes 6/4

      • Repaso de ecuaciones diofánticas lineales: existencia y soluciones.
      • Ejercicios del Práctico 3 sobre diofánticas lineales.

      Miércoles 8/4

      • Definición de congruencia módulo n.
      • Relación de equivalencia.
      • Vínculo con el resto al dividir entre n.
      • Propiedad cancelativa.
      • Dígitos verificadores del ISBN.

      Jueves 9/4

      • Práctico 5, Ejercicio 1.
      • Propiedades de aritmética modular (Proposición 2.3.1 de las notas).
      • Ecuaciones con congruencias: existencia y cantidad de soluciones módulo n.

    • Semana 4

      Lunes 23/3: Práctico 3, Algoritmo de Euclides extendido y Ecuaciones Diofánticas.

      Miércoles 25/3: Práctico 4, Números primos y Teorema Fundamental de la Aritmética.

      Jueves 26/3: Prácticos 3 y 4.

    • Semana 3

      Lunes 16/3

      • Ecuaciones diofánticas lineales: existencia de soluciones y cálculo de soluciones (Teorema).
      • El problema de los sellos.

      Miércoles 18/3

      • Teorema fundamental de la aritmética.
      • Práctico 2 - Máximo común divisor.

      Jueves 19/3

      • Primos de tipo Mersenne y su búsqueda mediante el proyecto GIMPS.
      • Existen infinitos primos. Prueba de las notas y del libro "Los Elementos" de Euclides.
      • Cálculo del mcd y mcm a partir de la factorización en primos.
      • Condición necesaria y suficiente para ser cuadrado perfecto, a partir de la factorización en primos.

    • Semana 2

      Lunes 9/3:

      • Cofactores: a = a^* mcd(a,b) , b = b^* mcd(a,b) , con mcd(a^*, b^*)=1 .
      • \sqrt{2} es irracional (usando corolario del Lema de Euclides).
      • Mínimo común múltiplo: definición y relación con el mcd.
      • Algoritmo de Euclides extendido.

      Miércoles 11/3:

      • Práctico 1: divisibilidad.

      Jueves 12/3:

      • Práctico 1: el juego del polinomio.
      • Algoritmo de Euclides extendido versión matricial.
      • Ecuaciones diofánticas lineales: existencia de soluciones y cálculo de soluciones (Ejemplo informal).

    • Semana 1

      Martes 3/3:

      • Teorema de división entera: a=b q + r, con 0 \leq r < |b|.
      • Aplicación: representación de un número en base b \geq 2.

      Miércoles 4/3:

      • Definición de divisibilidad: m divide a n.
      • Conjunto de divisores de un entero.
      • Definición de máximo común divisor (mcd) y algunas propiedades.
      • Cálculo del mcd de forma no eficiente: calculando el conjunto de divisores de cada entero y tomando el máximo de su intersección.
      • Algoritmo de Euclides para calcular el mcd de forma eficiente. Ejemplo.

      Jueves 5/3:

      • Algoritmo de Euclides se detiene (gracias al Teorema de división entera). 
      • ¿Para qué vamos a usar el mcd?: para buscar soluciones enteras de ecuaciones lineales.
      • Igualdad de Bezout y Coeficientes de Bezout.
      • Coeficientes de Bezout no son únicos.
      • Lema de Euclides (como aplicación de Bezout). Ejemplo de que no siempre ocurre lo que garantiza Euclides.
      • Corolario del Lema de Euclides para p primo.